http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n244469にて加法定理についての記述があったほうが良いとのアドバイスをいただいたのですが、どうせなら加法定理から少し話を広げようと思いこちらに記述することにしました。
まず加法定理とは以下の式が成り立つということです。 0.JPGtanについては敢えて割愛しました。これらの式の導出にはさまざまな方法があるのですが、ここではベクトルの内積を利用した方法を紹介します。まず、ベクトルの内積には以下のような公式があります。 1.JPG 4.JPGこれらの公式に加えて、例えば以下のような図を考えます。
 
2.JPGこの図について次のように考えることで導出できます。 3.JPG途中式の変形についてはhttp://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n243656も参照にしてください。今回のように、三角関数の加法定理についてはベクトルの内積で解決する場合があります。例えば次のような問題は加法定理の範囲を履修した高校生以上の方なら目にしたことがあるのではないでしょうか。5.JPGこの問題の模範解答は、tanの加法定理を用いている場合が多く、実際多くの方はtanの加法定理を用いた解法を習っていると思います。tanの加法定理の式については上記のsin,cosの加法定理から導出できその方法もシンプルなのですが、いかんせんtanの加法定理は使用頻度が少なく忘れがちです。そこで、以下のようなベクトルの内積を用いた解法を紹介します。 6.JPGいかがでしょうか?ベクトルについて全く説明していないのでわかりにくかったかもしれませんが、一番伝えたいことは、図形や座標平面の問題というのは非常に基本的な問題でも複数の解法がある場合が多く(平面図形、三角関数、図形と方程式、ベクトル等)、その引き出しの多さが難解な問題を解くときの力になるということです。